แก้โจทย์ {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+4y=-4$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-4y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -4y-4

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{-y-1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-2y=8

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-y-1}{2}

$$-2y-2-2y=8$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -2y

$$-4y-2=8$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{5}{2} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง -\frac{5}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{5}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

เพื่อทำให้ 8x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

ลบ 32x-16y=64 จาก 32x+16y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

เพิ่ม 32x ไปยัง -32x ตัดพจน์ 32x และ -32x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$16y+16y=-16-64$$

เพิ่ม 16y ไปยัง 16y

$$32y=-16-64$$

เพิ่ม -16 ไปยัง -64

$$32y=-80$$

หารทั้งสองข้างด้วย 32

$$y=-\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{5}{2} สำหรับ y ใน 4x-2y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{5}{2}

$$4x+5=8$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{3}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$