แก้โจทย์ {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+3y=103.1$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-3y+103.1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -3y+103.1

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

ทดแทน -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 12x+8y=139.4

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

คูณ 12 ด้วย -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

เพิ่ม -\frac{9y}{2} ไปยัง 8y

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

ลบ \frac{3093}{20} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{61}{14}$$

ทดแทน -\frac{61}{14} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

คูณ -\frac{3}{8} ครั้ง -\frac{61}{14} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

เพิ่ม \frac{1031}{80} ไปยัง \frac{183}{112} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2033}{140}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

เพื่อทำให้ 8x และ 12x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

ลบ 96x+64y=1115.2 จาก 96x+36y=1237.2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

เพิ่ม 96x ไปยัง -96x ตัดพจน์ 96x และ -96x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

เพิ่ม 36y ไปยัง -64y

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

เพิ่ม 1237.2 ไปยัง -1115.2 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-28y=122$$

หารทั้งสองข้างด้วย -28

$$y=-\frac{61}{14}$$

ทดแทน -\frac{61}{14} สำหรับ y ใน 12x+8y=139.4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{61}{14}

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

เพิ่ม \frac{244}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=\frac{6099}{35}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=\frac{2033}{140}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$