แก้โจทย์ {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8a-b=9$$

เพิ่ม b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8a=b+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย b+9

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

ทดแทน \frac{9+b}{8} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 4a+9b=7

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

คูณ 4 ด้วย \frac{9+b}{8}

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

เพิ่ม \frac{b}{2} ไปยัง 9b

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=\frac{5}{19}$$

ทดแทน \frac{5}{19} สำหรับ b ใน a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

คูณ \frac{1}{8} ครั้ง \frac{5}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

เพิ่ม \frac{9}{8} ไปยัง \frac{5}{152} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

เพื่อทำให้ 8a และ 4a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

ลบ 32a+72b=56 จาก 32a-4b=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

เพิ่ม 32a ไปยัง -32a ตัดพจน์ 32a และ -32a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4b-72b=36-56$$

เพิ่ม -4b ไปยัง -72b

$$-76b=36-56$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -56

$$-76b=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -76

$$b=\frac{5}{19}$$

ทดแทน \frac{5}{19} สำหรับ b ใน 4a+9b=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

คูณ 9 ด้วย \frac{5}{19}

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

ลบ \frac{45}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a=\frac{88}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$