แก้โจทย์ {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$8+4x-2y=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-2y=-8$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-4x+3y=14$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-2y=-8$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=2y-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -8+2y

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

ทดแทน \frac{y}{2}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+3y=14

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

คูณ -4 ด้วย \frac{y}{2}-2

$$-2y+8+3y=14$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y+8=14$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 6

$$x=3-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 3

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$8+4x-2y=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-2y=-8$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-4x+3y=14$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$8+4x-2y=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$4x-2y=-8$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-4x+3y=14$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

เพื่อทำให้ 4x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

ลบ -16x+12y=56 จาก -16x+8y=32 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

เพิ่ม -16x ไปยัง 16x ตัดพจน์ -16x และ 16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-12y=32-56$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -12y

$$-4y=32-56$$

เพิ่ม 32 ไปยัง -56

$$-4y=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน -4x+3y=14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x+3\times 6=14$$

คูณ 3 ด้วย 6

$$-4x+18=14$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=6$$