แก้โจทย์ {l}{7x-y=5}{1/7x+y=38/7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 7 } x + y = \frac { 38 } { 7 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{73}{50} = 1\frac{23}{50} = 1.46$$

$$y = \frac{261}{50} = 5\frac{11}{50} = 5.22$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}$$

ทดแทน \frac{5+y}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}

$$\frac{1}{7}\left(\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}\right)+y=\frac{38}{7}$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย \frac{5+y}{7}

$$\frac{1}{49}y+\frac{5}{49}+y=\frac{38}{7}$$

เพิ่ม \frac{y}{49} ไปยัง y

$$\frac{50}{49}y+\frac{5}{49}=\frac{38}{7}$$

ลบ \frac{5}{49} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{50}{49}y=\frac{261}{49}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{50}{49} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{261}{50}$$

ทดแทน \frac{261}{50} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{7}\times \frac{261}{50}+\frac{5}{7}$$

คูณ \frac{1}{7} ครั้ง \frac{261}{50} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{261}{350}+\frac{5}{7}$$

เพิ่ม \frac{5}{7} ไปยัง \frac{261}{350} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{73}{50}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\\-\frac{\frac{1}{7}}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&\frac{7}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{7}{50}\\-\frac{1}{50}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 5+\frac{7}{50}\times \frac{38}{7}\\-\frac{1}{50}\times 5+\frac{49}{50}\times \frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{50}\\\frac{261}{50}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

เพื่อทำให้ 7x และ \frac{x}{7} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{7} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$\frac{1}{7}\times 7x+\frac{1}{7}\left(-1\right)y=\frac{1}{7}\times 5,7\times \frac{1}{7}x+7y=7\times \frac{38}{7}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7},x+7y=38$$

ลบ x+7y=38 จาก x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

เพิ่ม -\frac{y}{7} ไปยัง -7y

$$-\frac{50}{7}y=\frac{5}{7}-38$$

เพิ่ม \frac{5}{7} ไปยัง -38

$$-\frac{50}{7}y=-\frac{261}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{50}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{261}{50}$$

ทดแทน \frac{261}{50} สำหรับ y ใน \frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{1}{7}x+\frac{261}{50}=\frac{38}{7}$$

ลบ \frac{261}{50} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{7}x=\frac{73}{350}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{73}{50}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$