แก้โจทย์ {l}{7x-9y=10}{2x-5y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 9 y = 10 } \\ { 2 x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-9y=10,2x-5y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-9y=10$$

เพิ่ม 9y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=9y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(9y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 9y+10

$$x=\frac{9}{7}y+\frac{10}{7}$$

ทดแทน \frac{9y+10}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-5y=-2

$$2\left(\frac{9}{7}y+\frac{10}{7}\right)-5y=-2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{9y+10}{7}

$$\frac{18}{7}y+\frac{20}{7}-5y=-2$$

เพิ่ม \frac{18y}{7} ไปยัง -5y

$$-\frac{17}{7}y+\frac{20}{7}=-2$$

ลบ \frac{20}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{17}{7}y=-\frac{34}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{9}{7}y+\frac{10}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{7}\times 2+\frac{10}{7}$$

คูณ \frac{9}{7} ด้วย 2

$$x=\frac{18+10}{7}$$

เพิ่ม \frac{10}{7} ไปยัง \frac{18}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-9y=10,2x-5y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-9\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-\left(-9\times 2\right)}&-\frac{-9}{7\left(-5\right)-\left(-9\times 2\right)}\\-\frac{2}{7\left(-5\right)-\left(-9\times 2\right)}&\frac{7}{7\left(-5\right)-\left(-9\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{9}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 10-\frac{9}{17}\left(-2\right)\\\frac{2}{17}\times 10-\frac{7}{17}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-9y=10,2x-5y=-2$$

เพื่อทำให้ 7x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$2\times 7x+2\left(-9\right)y=2\times 10,7\times 2x+7\left(-5\right)y=7\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14x-18y=20,14x-35y=-14$$

ลบ 14x-35y=-14 จาก 14x-18y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-14x-18y+35y=20+14$$

เพิ่ม 14x ไปยัง -14x ตัดพจน์ 14x และ -14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y+35y=20+14$$

เพิ่ม -18y ไปยัง 35y

$$17y=20+14$$

เพิ่ม 20 ไปยัง 14

$$17y=34$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x-5y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-5\times 2=-2$$

คูณ -5 ด้วย 2

$$2x-10=-2$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$