แก้โจทย์ {l}{7x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-8y=9$$

เพิ่ม 8y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=8y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 8y+9

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

ทดแทน \frac{8y+9}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+3y=-10

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)+3y=-10$$

คูณ 4 ด้วย \frac{8y+9}{7}

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}+3y=-10$$

เพิ่ม \frac{32y}{7} ไปยัง 3y

$$\frac{53}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

ลบ \frac{36}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{53}{7}y=-\frac{106}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{53}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{8}{7}\left(-2\right)+\frac{9}{7}$$

คูณ \frac{8}{7} ด้วย -2

$$x=\frac{-16+9}{7}$$

เพิ่ม \frac{9}{7} ไปยัง -\frac{16}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{8}{53}\\-\frac{4}{53}&\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 9+\frac{8}{53}\left(-10\right)\\-\frac{4}{53}\times 9+\frac{7}{53}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

เพื่อทำให้ 7x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\times 3y=7\left(-10\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x-32y=36,28x+21y=-70$$

ลบ 28x+21y=-70 จาก 28x-32y=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x-32y-21y=36+70$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-32y-21y=36+70$$

เพิ่ม -32y ไปยัง -21y

$$-53y=36+70$$

เพิ่ม 36 ไปยัง 70

$$-53y=106$$

หารทั้งสองข้างด้วย -53

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 4x+3y=-10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+3\left(-2\right)=-10$$

คูณ 3 ด้วย -2

$$4x-6=-10$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$