แก้โจทย์ {l}{7x-2y=11}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-2y=11,x+y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-2y=11$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=2y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 2y+11

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

ทดแทน \frac{2y+11}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=8

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

เพิ่ม \frac{2y}{7} ไปยัง y

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

ลบ \frac{11}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

คูณ \frac{2}{7} ด้วย 5

$$x=\frac{10+11}{7}$$

เพิ่ม \frac{11}{7} ไปยัง \frac{10}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-2y=11,x+y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-2y=11,x+y=8$$

เพื่อทำให้ 7x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

ลบ 7x+7y=56 จาก 7x-2y=11 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -7x ตัดพจน์ 7x และ -7x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-7y=11-56$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -7y

$$-9y=11-56$$

เพิ่ม 11 ไปยัง -56

$$-9y=-45$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x+y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+5=8$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=5$$