แก้โจทย์ {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$7x-y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$11x-y=-9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-y=39$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=y+39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย y+39

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

ทดแทน \frac{39+y}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 11x-y=-9

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

คูณ 11 ด้วย \frac{39+y}{7}

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

เพิ่ม \frac{11y}{7} ไปยัง -y

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

ลบ \frac{429}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{4}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-123$$

ทดแทน -123 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -123

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

เพิ่ม \frac{39}{7} ไปยัง -\frac{123}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-12,y=-123$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$7x-y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$11x-y=-9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-12,y=-123$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$7x-y=39$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$11x-y=-9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

ลบ 11x-y=-9 จาก 7x-y=39 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-11x-y+y=39+9$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7x-11x=39+9$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -11x

$$-4x=39+9$$

เพิ่ม 39 ไปยัง 9

$$-4x=48$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ x ใน 11x-y=-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

คูณ 11 ด้วย -12

$$-132-y=-9$$

เพิ่ม 132 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=123$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-123$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-12,y=-123$$