แก้โจทย์ {l}{7x+9y=620}{8x+4y=724}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 9 y = 620 } \\ { 8 x + 4 y = 724 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{1009}{11} = 91\frac{8}{11} \approx 91.727272727$$

$$y = -\frac{27}{11} = -2\frac{5}{11} \approx -2.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+9y=620$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-9y+620$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-9y+620\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -9y+620

$$x=-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7}$$

ทดแทน \frac{-9y+620}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+4y=724

$$8\left(-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7}\right)+4y=724$$

คูณ 8 ด้วย \frac{-9y+620}{7}

$$-\frac{72}{7}y+\frac{4960}{7}+4y=724$$

เพิ่ม -\frac{72y}{7} ไปยัง 4y

$$-\frac{44}{7}y+\frac{4960}{7}=724$$

ลบ \frac{4960}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{44}{7}y=\frac{108}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{44}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{27}{11}$$

ทดแทน -\frac{27}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{9}{7}\left(-\frac{27}{11}\right)+\frac{620}{7}$$

คูณ -\frac{9}{7} ครั้ง -\frac{27}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{243}{77}+\frac{620}{7}$$

เพิ่ม \frac{620}{7} ไปยัง \frac{243}{77} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1009}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-9\times 8}&-\frac{9}{7\times 4-9\times 8}\\-\frac{8}{7\times 4-9\times 8}&\frac{7}{7\times 4-9\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{9}{44}\\\frac{2}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 620+\frac{9}{44}\times 724\\\frac{2}{11}\times 620-\frac{7}{44}\times 724\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1009}{11}\\-\frac{27}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

เพื่อทำให้ 7x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$8\times 7x+8\times 9y=8\times 620,7\times 8x+7\times 4y=7\times 724$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$56x+72y=4960,56x+28y=5068$$

ลบ 56x+28y=5068 จาก 56x+72y=4960 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$56x-56x+72y-28y=4960-5068$$

เพิ่ม 56x ไปยัง -56x ตัดพจน์ 56x และ -56x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$72y-28y=4960-5068$$

เพิ่ม 72y ไปยัง -28y

$$44y=4960-5068$$

เพิ่ม 4960 ไปยัง -5068

$$44y=-108$$

หารทั้งสองข้างด้วย 44

$$y=-\frac{27}{11}$$

ทดแทน -\frac{27}{11} สำหรับ y ใน 8x+4y=724 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+4\left(-\frac{27}{11}\right)=724$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{27}{11}

$$8x-\frac{108}{11}=724$$

เพิ่ม \frac{108}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=\frac{8072}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1009}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$