แก้โจทย์ {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+8y=15$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-8y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -8y+15

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

ทดแทน \frac{-8y+15}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x+8y=1

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

คูณ 9 ด้วย \frac{-8y+15}{7}

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

เพิ่ม -\frac{72y}{7} ไปยัง 8y

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

ลบ \frac{135}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{16}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

คูณ -\frac{8}{7} ด้วย 8

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

เพิ่ม \frac{15}{7} ไปยัง -\frac{64}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-7,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

ลบ 9x+8y=1 จาก 7x+8y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -8y ตัดพจน์ 8y และ -8y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7x-9x=15-1$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -9x

$$-2x=15-1$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -1

$$-2x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ x ใน 9x+8y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

คูณ 9 ด้วย -7

$$-63+8y=1$$

เพิ่ม 63 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=64$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=8$$