แก้โจทย์ {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{y}{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{y}{2}=4$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+y=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+6y=18$$

ลบ 6y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-6y+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -6y+18

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

ทดแทน \frac{-6y+18}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=8

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-6y+18}{7}

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

เพิ่ม -\frac{12y}{7} ไปยัง y

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

ลบ \frac{36}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

คูณ -\frac{6}{7} ด้วย -4

$$x=\frac{24+18}{7}$$

เพิ่ม \frac{18}{7} ไปยัง \frac{24}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{y}{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{y}{2}=4$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+y=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{y}{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{y}{2}=4$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x+y=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

เพื่อทำให้ 7x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

ลบ 14x+7y=56 จาก 14x+12y=36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

เพิ่ม 14x ไปยัง -14x ตัดพจน์ 14x และ -14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-7y=36-56$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -7y

$$5y=36-56$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -56

$$5y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน 2x+y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-4=8$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-4$$