แก้โจทย์ {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+5y=12$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-5y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -5y+12

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

ทดแทน \frac{-5y+12}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x-2y=7

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

คูณ 8 ด้วย \frac{-5y+12}{7}

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

เพิ่ม -\frac{40y}{7} ไปยัง -2y

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

ลบ \frac{96}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{54}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{47}{54}$$

ทดแทน \frac{47}{54} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

คูณ -\frac{5}{7} ครั้ง \frac{47}{54} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

เพิ่ม \frac{12}{7} ไปยัง -\frac{235}{378} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{59}{54}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

เพื่อทำให้ 7x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

ลบ 56x-14y=49 จาก 56x+40y=96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

เพิ่ม 56x ไปยัง -56x ตัดพจน์ 56x และ -56x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$40y+14y=96-49$$

เพิ่ม 40y ไปยัง 14y

$$54y=96-49$$

เพิ่ม 96 ไปยัง -49

$$54y=47$$

หารทั้งสองข้างด้วย 54

$$y=\frac{47}{54}$$

ทดแทน \frac{47}{54} สำหรับ y ใน 8x-2y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

คูณ -2 ด้วย \frac{47}{54}

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

เพิ่ม \frac{47}{27} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=\frac{236}{27}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{59}{54}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$