แก้โจทย์ {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+4y=52$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-4y+52$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -4y+52

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

ทดแทน \frac{-4y+52}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-4y=-8

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-4y+52}{7}

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

เพิ่ม -\frac{16y}{7} ไปยัง -4y

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

ลบ \frac{208}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{44}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

คูณ -\frac{4}{7} ด้วย 6

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

เพิ่ม \frac{52}{7} ไปยัง -\frac{24}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

เพื่อทำให้ 7x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

ลบ 28x-28y=-56 จาก 28x+16y=208 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$16y+28y=208+56$$

เพิ่ม 16y ไปยัง 28y

$$44y=208+56$$

เพิ่ม 208 ไปยัง 56

$$44y=264$$

หารทั้งสองข้างด้วย 44

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน 4x-4y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-4\times 6=-8$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$4x-24=-8$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=6$$