แก้โจทย์ {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2z จากทั้งสองด้าน

$$5w-2z=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ w โดยแยก w ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7w+2z=16$$

ลบ 2z จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7w=-2z+16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -2z+16

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

ทดแทน \frac{-2z+16}{7} สำหรับ w ในอีกสมการหนึ่ง 5w-2z=8

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-2z+16}{7}

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

เพิ่ม -\frac{10z}{7} ไปยัง -2z

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

ลบ \frac{80}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{24}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$z=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ z ใน w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า w โดยตรงได้

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

เพิ่ม \frac{16}{7} ไปยัง -\frac{2}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$w=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$w=2,z=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2z จากทั้งสองด้าน

$$5w-2z=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ w และ z

$$w=2,z=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2z จากทั้งสองด้าน

$$5w-2z=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

เพื่อทำให้ 7w และ 5w เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

ลบ 35w-14z=56 จาก 35w+10z=80 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

เพิ่ม 35w ไปยัง -35w ตัดพจน์ 35w และ -35w ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10z+14z=80-56$$

เพิ่ม 10z ไปยัง 14z

$$24z=80-56$$

เพิ่ม 80 ไปยัง -56

$$24z=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$z=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ z ใน 5w-2z=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า w โดยตรงได้

$$5w-2=8$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5w=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$w=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$w=2,z=1$$