แก้โจทย์ {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$62x+y=44,34x-y=36$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$62x+y=44$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$62x=-y+44$$

หารทั้งสองข้างด้วย 62

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

คูณ \frac{1}{62} ด้วย -y+44

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

ทดแทน -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 34x-y=36

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

คูณ 34 ด้วย -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

เพิ่ม -\frac{17y}{31} ไปยัง -y

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

ลบ \frac{748}{31} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{48}{31} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{23}{3}$$

ทดแทน -\frac{23}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

คูณ -\frac{1}{62} ครั้ง -\frac{23}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

เพิ่ม \frac{22}{31} ไปยัง \frac{23}{186} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$62x+y=44,34x-y=36$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$62x+y=44,34x-y=36$$

เพื่อทำให้ 62x และ 34x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 34 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 62

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

ลบ 2108x-62y=2232 จาก 2108x+34y=1496 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

เพิ่ม 2108x ไปยัง -2108x ตัดพจน์ 2108x และ -2108x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$34y+62y=1496-2232$$

เพิ่ม 34y ไปยัง 62y

$$96y=1496-2232$$

เพิ่ม 1496 ไปยัง -2232

$$96y=-736$$

หารทั้งสองข้างด้วย 96

$$y=-\frac{23}{3}$$

ทดแทน -\frac{23}{3} สำหรับ y ใน 34x-y=36 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

ลบ \frac{23}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$34x=\frac{85}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 34

$$x=\frac{5}{6}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$