แก้โจทย์ {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6.5x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6.5x=-y+9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 6.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

คูณ \frac{2}{13} ด้วย -y+9

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

ทดแทน \frac{-2y+18}{13} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 1.6x+0.2y=13

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

คูณ 1.6 ด้วย \frac{-2y+18}{13}

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

เพิ่ม -\frac{16y}{65} ไปยัง \frac{y}{5}

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

ลบ \frac{144}{65} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{65} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{701}{3}$$

ทดแทน -\frac{701}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

คูณ -\frac{2}{13} ครั้ง -\frac{701}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

เพิ่ม \frac{18}{13} ไปยัง \frac{1402}{39} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{112}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

เพื่อทำให้ \frac{13x}{2} และ \frac{8x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1.6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6.5

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

ลบ 10.4x+1.3y=84.5 จาก 10.4x+1.6y=14.4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

เพิ่ม \frac{52x}{5} ไปยัง -\frac{52x}{5} ตัดพจน์ \frac{52x}{5} และ -\frac{52x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

เพิ่ม \frac{8y}{5} ไปยัง -\frac{13y}{10}

$$0.3y=14.4-84.5$$

เพิ่ม 14.4 ไปยัง -84.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.3y=-70.1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.3 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{701}{3}$$

ทดแทน -\frac{701}{3} สำหรับ y ใน 1.6x+0.2y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

คูณ 0.2 ครั้ง -\frac{701}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

เพิ่ม \frac{701}{15} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{112}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$