แก้โจทย์ {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6y+4x=27,y+x=50$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y+4x=27$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=-4x+27$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -4x+27

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

ทดแทน -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+x=50

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

เพิ่ม -\frac{2x}{3} ไปยัง x

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{273}{2}$$

ทดแทน \frac{273}{2} สำหรับ x ใน y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{273}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยัง -91

$$y=-\frac{173}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6y+4x=27,y+x=50$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6y+4x=27,y+x=50$$

เพื่อทำให้ 6y และ y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

ลบ 6y+6x=300 จาก 6y+4x=27 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -6y ตัดพจน์ 6y และ -6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-6x=27-300$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -6x

$$-2x=27-300$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -300

$$-2x=-273$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{273}{2}$$

ทดแทน \frac{273}{2} สำหรับ x ใน y+x=50 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+\frac{273}{2}=50$$

ลบ \frac{273}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{173}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$