แก้โจทย์ {l}{6x-7y=-2}{5x-4y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 7 y = - 2 } \\ { 5 x - 4 y = - 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{69}{11} = -6\frac{3}{11} \approx -6.272727273$$

$$y = -\frac{56}{11} = -5\frac{1}{11} \approx -5.090909091$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-7y=-2$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=7y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(7y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 7y-2

$$x=\frac{7}{6}y-\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{7y}{6}-\frac{1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-4y=-11

$$5\left(\frac{7}{6}y-\frac{1}{3}\right)-4y=-11$$

คูณ 5 ด้วย \frac{7y}{6}-\frac{1}{3}

$$\frac{35}{6}y-\frac{5}{3}-4y=-11$$

เพิ่ม \frac{35y}{6} ไปยัง -4y

$$\frac{11}{6}y-\frac{5}{3}=-11$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{6}y=-\frac{28}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{56}{11}$$

ทดแทน -\frac{56}{11} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{6}y-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{6}\left(-\frac{56}{11}\right)-\frac{1}{3}$$

คูณ \frac{7}{6} ครั้ง -\frac{56}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{196}{33}-\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง -\frac{196}{33} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{69}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{5}{11}&\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-2\right)+\frac{7}{11}\left(-11\right)\\-\frac{5}{11}\left(-2\right)+\frac{6}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{69}{11}\\-\frac{56}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

เพื่อทำให้ 6x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$5\times 6x+5\left(-7\right)y=5\left(-2\right),6\times 5x+6\left(-4\right)y=6\left(-11\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$30x-35y=-10,30x-24y=-66$$

ลบ 30x-24y=-66 จาก 30x-35y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$30x-30x-35y+24y=-10+66$$

เพิ่ม 30x ไปยัง -30x ตัดพจน์ 30x และ -30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-35y+24y=-10+66$$

เพิ่ม -35y ไปยัง 24y

$$-11y=-10+66$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 66

$$-11y=56$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=-\frac{56}{11}$$

ทดแทน -\frac{56}{11} สำหรับ y ใน 5x-4y=-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-4\left(-\frac{56}{11}\right)=-11$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{56}{11}

$$5x+\frac{224}{11}=-11$$

ลบ \frac{224}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-\frac{345}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-\frac{69}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$