แก้โจทย์ {l}{6x+5y=74}{-7x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 74 } \\ { - 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+5y=74$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-5y+74$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+74\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -5y+74

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+2y=-8

$$-7\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}\right)+2y=-8$$

คูณ -7 ด้วย -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}

$$\frac{35}{6}y-\frac{259}{3}+2y=-8$$

เพิ่ม \frac{35y}{6} ไปยัง 2y

$$\frac{47}{6}y-\frac{259}{3}=-8$$

เพิ่ม \frac{259}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{47}{6}y=\frac{235}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{47}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+\frac{37}{3}$$

คูณ -\frac{5}{6} ด้วย 10

$$x=\frac{-25+37}{3}$$

เพิ่ม \frac{37}{3} ไปยัง -\frac{25}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\left(-7\right)}&-\frac{5}{6\times 2-5\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-5\left(-7\right)}&\frac{6}{6\times 2-5\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}&-\frac{5}{47}\\\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}\times 74-\frac{5}{47}\left(-8\right)\\\frac{7}{47}\times 74+\frac{6}{47}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

เพื่อทำให้ 6x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$-7\times 6x-7\times 5y=-7\times 74,6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\left(-8\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-42x-35y=-518,-42x+12y=-48$$

ลบ -42x+12y=-48 จาก -42x-35y=-518 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-42x+42x-35y-12y=-518+48$$

เพิ่ม -42x ไปยัง 42x ตัดพจน์ -42x และ 42x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-35y-12y=-518+48$$

เพิ่ม -35y ไปยัง -12y

$$-47y=-518+48$$

เพิ่ม -518 ไปยัง 48

$$-47y=-470$$

หารทั้งสองข้างด้วย -47

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน -7x+2y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x+2\times 10=-8$$

คูณ 2 ด้วย 10

$$-7x+20=-8$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=10$$