แก้โจทย์ {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+5y=27$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-5y+27$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -5y+27

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

ทดแทน -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=13

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

เพิ่ม -\frac{5y}{3} ไปยัง y

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{3}y=4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{5}{6} ด้วย -6

$$x=5+\frac{9}{2}$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยัง 5

$$x=\frac{19}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

เพื่อทำให้ 6x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

ลบ 12x+6y=78 จาก 12x+10y=54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-6y=54-78$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -6y

$$4y=54-78$$

เพิ่ม 54 ไปยัง -78

$$4y=-24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน 2x+y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-6=13$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{19}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$