แก้โจทย์ {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+3y=25.95$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-3y+25.95$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -3y+25.95

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+6y=26.7

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 6y

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

ลบ \frac{173}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=\frac{47}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=\frac{47}{20}$$

ทดแทน \frac{47}{20} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง \frac{47}{20} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

เพิ่ม \frac{173}{40} ไปยัง -\frac{47}{40} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{63}{20}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

เพื่อทำให้ 6x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

ลบ 24x+36y=160.2 จาก 24x+12y=103.8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

เพิ่ม 24x ไปยัง -24x ตัดพจน์ 24x และ -24x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -36y

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

เพิ่ม 103.8 ไปยัง -160.2 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-24y=-56.4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -24

$$y=\frac{47}{20}$$

ทดแทน \frac{47}{20} สำหรับ y ใน 4x+6y=26.7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

คูณ 6 ด้วย \frac{47}{20}

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

ลบ \frac{141}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{63}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{63}{20}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$