แก้โจทย์ {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6m-5n=-9$$

เพิ่ม 5n ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6m=5n-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 5n-9

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 4m+3n=65

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

เพิ่ม \frac{10n}{3} ไปยัง 3n

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{3}n=71$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=\frac{213}{19}$$

ทดแทน \frac{213}{19} สำหรับ n ใน m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{5}{6} ครั้ง \frac{213}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

เพิ่ม -\frac{3}{2} ไปยัง \frac{355}{38} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{149}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

เพื่อทำให้ 6m และ 4m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

ลบ 24m+18n=390 จาก 24m-20n=-36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

เพิ่ม 24m ไปยัง -24m ตัดพจน์ 24m และ -24m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20n-18n=-36-390$$

เพิ่ม -20n ไปยัง -18n

$$-38n=-36-390$$

เพิ่ม -36 ไปยัง -390

$$-38n=-426$$

หารทั้งสองข้างด้วย -38

$$n=\frac{213}{19}$$

ทดแทน \frac{213}{19} สำหรับ n ใน 4m+3n=65 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

คูณ 3 ด้วย \frac{213}{19}

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

ลบ \frac{639}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4m=\frac{596}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$m=\frac{149}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$