แก้โจทย์ {l}{500y+150.25x=0}{2990y+225.75x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 500 y + 150.25 x = 0 } \\ { 2990 y + 225.75 x = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$500y+150.25x=0$$

ลบ \frac{601x}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$500y=-150.25x$$

หารทั้งสองข้างด้วย 500

$$y=\frac{1}{500}\left(-150.25\right)x$$

คูณ \frac{1}{500} ด้วย -\frac{601x}{4}

$$y=-\frac{601}{2000}x$$

ทดแทน -\frac{601x}{2000} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2990y+225.75x=0

$$2990\left(-\frac{601}{2000}\right)x+225.75x=0$$

คูณ 2990 ด้วย -\frac{601x}{2000}

$$-\frac{179699}{200}x+225.75x=0$$

เพิ่ม -\frac{179699x}{200} ไปยัง \frac{903x}{4}

$$-\frac{134549}{200}x=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{134549}{200} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน y=-\frac{601}{2000}x เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{225.75}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&-\frac{150.25}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\\-\frac{2990}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&\frac{500}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{903}{1345490}&\frac{601}{1345490}\\\frac{1196}{134549}&-\frac{200}{134549}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=0,x=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

เพื่อทำให้ 500y และ 2990y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2990 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 500

$$2990\times 500y+2990\times 150.25x=0,500\times 2990y+500\times 225.75x=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1495000y+449247.5x=0,1495000y+112875x=0$$

ลบ 1495000y+112875x=0 จาก 1495000y+449247.5x=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1495000y-1495000y+449247.5x-112875x=0$$

เพิ่ม 1495000y ไปยัง -1495000y ตัดพจน์ 1495000y และ -1495000y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$449247.5x-112875x=0$$

เพิ่ม \frac{898495x}{2} ไปยัง -112875x

$$336372.5x=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 336372.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน 2990y+225.75x=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2990y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2990

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=0$$