แก้โจทย์ {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x+3y=1$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$50x=-3y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{50} ด้วย -3y+1

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

ทดแทน \frac{-3y+1}{50} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-4y=5

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-3y+1}{50}

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

เพิ่ม -\frac{3y}{25} ไปยัง -4y

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

ลบ \frac{1}{25} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{103}{25} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{124}{103}$$

ทดแทน -\frac{124}{103} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

คูณ -\frac{3}{50} ครั้ง -\frac{124}{103} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

เพิ่ม \frac{1}{50} ไปยัง \frac{186}{2575} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{19}{206}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

เพื่อทำให้ 50x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 50

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

ลบ 100x-200y=250 จาก 100x+6y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

เพิ่ม 100x ไปยัง -100x ตัดพจน์ 100x และ -100x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+200y=2-250$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 200y

$$206y=2-250$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -250

$$206y=-248$$

หารทั้งสองข้างด้วย 206

$$y=-\frac{124}{103}$$

ทดแทน -\frac{124}{103} สำหรับ y ใน 2x-4y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{124}{103}

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

ลบ \frac{496}{103} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{19}{103}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{19}{206}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$