แก้โจทย์ {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y+8x=-18$$

ลบ 8x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-8x-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -8x-18

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{-8x-18}{5} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+2x=58

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-8x-18}{5}

$$-8x-18+2x=58$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 2x

$$-6x-18=58$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=76$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-\frac{38}{3}$$

ทดแทน -\frac{38}{3} สำหรับ x ใน y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

คูณ -\frac{8}{5} ครั้ง -\frac{38}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

เพิ่ม -\frac{18}{5} ไปยัง \frac{304}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{50}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

ลบ 5y+2x=58 จาก 5y+8x=-18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8x-2x=-18-58$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -2x

$$6x=-18-58$$

เพิ่ม -18 ไปยัง -58

$$6x=-76$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-\frac{38}{3}$$

ทดแทน -\frac{38}{3} สำหรับ x ใน 5y+2x=58 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{38}{3}

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

เพิ่ม \frac{76}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=\frac{250}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=\frac{50}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$