แก้โจทย์ {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-y=3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย y+3

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

ทดแทน \frac{3+y}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+4y=12

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

คูณ -2 ด้วย \frac{3+y}{5}

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง 4y

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

เพิ่ม \frac{6}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{18}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{11}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

คูณ \frac{1}{5} ครั้ง \frac{11}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

เพิ่ม \frac{3}{5} ไปยัง \frac{11}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

เพื่อทำให้ 5x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

ลบ -10x+20y=60 จาก -10x+2y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 10x ตัดพจน์ -10x และ 10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-20y=-6-60$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -20y

$$-18y=-6-60$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -60

$$-18y=-66$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{11}{3} สำหรับ y ใน -2x+4y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

คูณ 4 ด้วย \frac{11}{3}

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

ลบ \frac{44}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$