แก้โจทย์ {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-7y=4$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=7y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 7y+4

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

ทดแทน \frac{7y+4}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y=-3

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

คูณ -1 ด้วย \frac{7y+4}{5}

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

เพิ่ม -\frac{7y}{5} ไปยัง 2y

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

เพิ่ม \frac{4}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{11}{3}$$

ทดแทน -\frac{11}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

คูณ \frac{7}{5} ครั้ง -\frac{11}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

เพิ่ม \frac{4}{5} ไปยัง -\frac{77}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{13}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

เพื่อทำให้ 5x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

ลบ -5x+10y=-15 จาก -5x+7y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

เพิ่ม -5x ไปยัง 5x ตัดพจน์ -5x และ 5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-10y=-4+15$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -10y

$$-3y=-4+15$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 15

$$-3y=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-\frac{11}{3}$$

ทดแทน -\frac{11}{3} สำหรับ y ใน -x+2y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{11}{3}

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

เพิ่ม \frac{22}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=\frac{13}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\frac{13}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$