แก้โจทย์ {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-7y=-27$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=7y-27$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 7y-27

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

ทดแทน \frac{7y-27}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=24

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

คูณ 2 ด้วย \frac{7y-27}{5}

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

เพิ่ม \frac{14y}{5} ไปยัง 3y

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

เพิ่ม \frac{54}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{29}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

คูณ \frac{7}{5} ด้วย 6

$$x=\frac{42-27}{5}$$

เพิ่ม -\frac{27}{5} ไปยัง \frac{42}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

ลบ 10x+15y=120 จาก 10x-14y=-54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-14y-15y=-54-120$$

เพิ่ม -14y ไปยัง -15y

$$-29y=-54-120$$

เพิ่ม -54 ไปยัง -120

$$-29y=-174$$

หารทั้งสองข้างด้วย -29

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน 2x+3y=24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\times 6=24$$

คูณ 3 ด้วย 6

$$2x+18=24$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=6$$