แก้โจทย์ {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-6y=10$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=6y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 6y+10

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

ทดแทน \frac{6y}{5}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+7y=3

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

คูณ 2 ด้วย \frac{6y}{5}+2

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

เพิ่ม \frac{12y}{5} ไปยัง 7y

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{47}{5}y=-1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{47}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{5}{47}$$

ทดแทน -\frac{5}{47} สำหรับ y ใน x=\frac{6}{5}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

คูณ \frac{6}{5} ครั้ง -\frac{5}{47} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{6}{47}

$$x=\frac{88}{47}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

ลบ 10x+35y=15 จาก 10x-12y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-35y=20-15$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -35y

$$-47y=20-15$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -15

$$-47y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -47

$$y=-\frac{5}{47}$$

ทดแทน -\frac{5}{47} สำหรับ y ใน 2x+7y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{5}{47}

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

เพิ่ม \frac{35}{47} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{176}{47}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{88}{47}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$