แก้โจทย์ {l}{5x-6y=-25}{4x-3y+20=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 25 } \\ { 4 x - 3 y + 20 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-5$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-6y=-25$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=6y-25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-25\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 6y-25

$$x=\frac{6}{5}y-5$$

ทดแทน \frac{6y}{5}-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-3y+20=0

$$4\left(\frac{6}{5}y-5\right)-3y+20=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{6y}{5}-5

$$\frac{24}{5}y-20-3y+20=0$$

เพิ่ม \frac{24y}{5} ไปยัง -3y

$$\frac{9}{5}y-20+20=0$$

เพิ่ม -20 ไปยัง 20

$$\frac{9}{5}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=\frac{6}{5}y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-25\right)+\frac{2}{3}\left(-20\right)\\-\frac{4}{9}\left(-25\right)+\frac{5}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-5,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

เพื่อทำให้ 5x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$4\times 5x+4\left(-6\right)y=4\left(-25\right),5\times 4x+5\left(-3\right)y+5\times 20=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x-24y=-100,20x-15y+100=0$$

ลบ 20x-15y+100=0 จาก 20x-24y=-100 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x-24y+15y-100=-100$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-24y+15y-100=-100$$

เพิ่ม -24y ไปยัง 15y

$$-9y-100=-100$$

เพิ่ม 100 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 4x-3y+20=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+20=0$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=0$$