แก้โจทย์ {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-4y=19$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=4y+19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 4y+19

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

ทดแทน \frac{4y+19}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+2y=7

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

เพิ่ม \frac{4y}{5} ไปยัง 2y

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

ลบ \frac{19}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{14}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{8}{7}$$

ทดแทน \frac{8}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

คูณ \frac{4}{5} ครั้ง \frac{8}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

เพิ่ม \frac{19}{5} ไปยัง \frac{32}{35} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{33}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

เพื่อทำให้ 5x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

ลบ 5x+10y=35 จาก 5x-4y=19 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-10y=19-35$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -10y

$$-14y=19-35$$

เพิ่ม 19 ไปยัง -35

$$-14y=-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=\frac{8}{7}$$

ทดแทน \frac{8}{7} สำหรับ y ใน x+2y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{8}{7}

$$x+\frac{16}{7}=7$$

ลบ \frac{16}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{33}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$