แก้โจทย์ {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3y-4=34$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x-3y=38$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=3y+38$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3y+38

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

ทดแทน \frac{3y+38}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+5y-18=34

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

คูณ -3 ด้วย \frac{3y+38}{5}

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

เพิ่ม -\frac{9y}{5} ไปยัง 5y

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

เพิ่ม -\frac{114}{5} ไปยัง -18

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

เพิ่ม \frac{204}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{16}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{187}{8}$$

ทดแทน \frac{187}{8} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

คูณ \frac{3}{5} ครั้ง \frac{187}{8} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

เพิ่ม \frac{38}{5} ไปยัง \frac{561}{40} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{173}{8}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

เพื่อทำให้ 5x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

ลบ -15x+25y-90=170 จาก -15x+9y+12=-102 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

เพิ่ม -15x ไปยัง 15x ตัดพจน์ -15x และ 15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -25y

$$-16y+12+90=-102-170$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 90

$$-16y+102=-102-170$$

เพิ่ม -102 ไปยัง -170

$$-16y+102=-272$$

ลบ 102 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-16y=-374$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=\frac{187}{8}$$

ทดแทน \frac{187}{8} สำหรับ y ใน -3x+5y-18=34 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

คูณ 5 ด้วย \frac{187}{8}

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

เพิ่ม \frac{935}{8} ไปยัง -18

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

ลบ \frac{791}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=\frac{173}{8}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$