แก้โจทย์ {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3y-2=0$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x-3y=2$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=3y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3y+2

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{3y+2}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+7y+3=0

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3y+2}{5}

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

เพิ่ม \frac{12y}{5} ไปยัง 7y

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

เพิ่ม \frac{8}{5} ไปยัง 3

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

ลบ \frac{23}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{47}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{23}{47}$$

ทดแทน -\frac{23}{47} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

คูณ \frac{3}{5} ครั้ง -\frac{23}{47} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยัง -\frac{69}{235} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{47}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

เพื่อทำให้ 5x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

ลบ 20x+35y+15=0 จาก 20x-12y-8=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-35y-8-15=0$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -35y

$$-47y-8-15=0$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -15

$$-47y-23=0$$

เพิ่ม 23 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-47y=23$$

หารทั้งสองข้างด้วย -47

$$y=-\frac{23}{47}$$

ทดแทน -\frac{23}{47} สำหรับ y ใน 4x+7y+3=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{23}{47}

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

เพิ่ม -\frac{161}{47} ไปยัง 3

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

เพิ่ม \frac{20}{47} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{20}{47}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{5}{47}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$