แก้โจทย์ {l}{5x-2y=5}{10x-3y=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11$$

$$y=25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-2y=5$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=2y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 2y+5

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

ทดแทน \frac{2y}{5}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 10x-3y=35

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

คูณ 10 ด้วย \frac{2y}{5}+1

$$4y+10-3y=35$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -3y

$$y+10=35$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=25$$

ทดแทน 25 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{5}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

คูณ \frac{2}{5} ด้วย 25

$$x=10+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 10

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=25$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11,y=25$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

เพื่อทำให้ 5x และ 10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

ลบ 50x-15y=175 จาก 50x-20y=50 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -50x ตัดพจน์ 50x และ -50x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y+15y=50-175$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 15y

$$-5y=50-175$$

เพิ่ม 50 ไปยัง -175

$$-5y=-125$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=25$$

ทดแทน 25 สำหรับ y ใน 10x-3y=35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$10x-3\times 25=35$$

คูณ -3 ด้วย 25

$$10x-75=35$$

เพิ่ม 75 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=110$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=25$$