แก้โจทย์ {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

หาค่า x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 7z จากทั้งสองด้าน

$$5x-7z=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9z จากทั้งสองด้าน

$$8x-9z=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-7z=0$$

เพิ่ม 7z ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=7z$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 7z

$$x=\frac{7}{5}z$$

ทดแทน \frac{7z}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x-9z=0

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

คูณ 8 ด้วย \frac{7z}{5}

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

เพิ่ม \frac{56z}{5} ไปยัง -9z

$$\frac{11}{5}z=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$z=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ z ใน x=\frac{7}{5}z เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,z=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 7z จากทั้งสองด้าน

$$5x-7z=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9z จากทั้งสองด้าน

$$8x-9z=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ z

$$x=0,z=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 7z จากทั้งสองด้าน

$$5x-7z=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 9z จากทั้งสองด้าน

$$8x-9z=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

เพื่อทำให้ 5x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

ลบ 40x-45z=0 จาก 40x-56z=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x-40x-56z+45z=0$$

เพิ่ม 40x ไปยัง -40x ตัดพจน์ 40x และ -40x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-56z+45z=0$$

เพิ่ม -56z ไปยัง 45z

$$-11z=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$z=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ z ใน 8x-9z=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,z=0$$