แก้โจทย์ {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$5y+1-x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5y-x=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-4y=-2$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=4y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 4y-2

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

ทดแทน \frac{4y-2}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+5y=-1

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

คูณ -1 ด้วย \frac{4y-2}{5}

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

เพิ่ม -\frac{4y}{5} ไปยัง 5y

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

ลบ \frac{2}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{21}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

คูณ \frac{4}{5} ครั้ง -\frac{1}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

เพิ่ม -\frac{2}{5} ไปยัง -\frac{4}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$5y+1-x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5y-x=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$5x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$5y+1-x=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$5y-x=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

เพื่อทำให้ 5x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

ลบ -5x+25y=-5 จาก -5x+4y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

เพิ่ม -5x ไปยัง 5x ตัดพจน์ -5x และ 5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-25y=2+5$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -25y

$$-21y=2+5$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 5

$$-21y=7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$y=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ y ใน -x+5y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{1}{3}

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=\frac{2}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$