แก้โจทย์ {l}{5x+y=10}{4x+3y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 10 } \\ { 4 x + 3 y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11} \approx 5.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=10$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y+10

$$x=-\frac{1}{5}y+2$$

ทดแทน -\frac{y}{5}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+3y=20

$$4\left(-\frac{1}{5}y+2\right)+3y=20$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{y}{5}+2

$$-\frac{4}{5}y+8+3y=20$$

เพิ่ม -\frac{4y}{5} ไปยัง 3y

$$\frac{11}{5}y+8=20$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{5}y=12$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{60}{11}$$

ทดแทน \frac{60}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{60}{11}+2$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง \frac{60}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{12}{11}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{12}{11}

$$x=\frac{10}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4}&-\frac{1}{5\times 3-4}\\-\frac{4}{5\times 3-4}&\frac{5}{5\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 20\\-\frac{4}{11}\times 10+\frac{5}{11}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{60}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

เพื่อทำให้ 5x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$4\times 5x+4y=4\times 10,5\times 4x+5\times 3y=5\times 20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+4y=40,20x+15y=100$$

ลบ 20x+15y=100 จาก 20x+4y=40 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+4y-15y=40-100$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-15y=40-100$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -15y

$$-11y=40-100$$

เพิ่ม 40 ไปยัง -100

$$-11y=-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{60}{11}$$

ทดแทน \frac{60}{11} สำหรับ y ใน 4x+3y=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+3\times \frac{60}{11}=20$$

คูณ 3 ด้วย \frac{60}{11}

$$4x+\frac{180}{11}=20$$

ลบ \frac{180}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{40}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{10}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$