แก้โจทย์ {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+y=-1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -y-1

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{-y-1}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y=7

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y-1}{5}

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง 5y

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

เพิ่ม \frac{2}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{23}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{37}{23}$$

ทดแทน \frac{37}{23} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง \frac{37}{23} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

เพิ่ม -\frac{1}{5} ไปยัง -\frac{37}{115} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{12}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

ลบ 10x+25y=35 จาก 10x+2y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-25y=-2-35$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -25y

$$-23y=-2-35$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -35

$$-23y=-37$$

หารทั้งสองข้างด้วย -23

$$y=\frac{37}{23}$$

ทดแทน \frac{37}{23} สำหรับ y ใน 2x+5y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

คูณ 5 ด้วย \frac{37}{23}

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

ลบ \frac{185}{23} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{24}{23}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{12}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$