แก้โจทย์ {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+5y=14$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-5y+14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -5y+14

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

ทดแทน -y+\frac{14}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+4y=10

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

คูณ 2 ด้วย -y+\frac{14}{5}

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 4y

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

ลบ \frac{28}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=\frac{22}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{11}{5}$$

ทดแทน \frac{11}{5} สำหรับ y ใน x=-y+\frac{14}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

คูณ -1 ด้วย \frac{11}{5}

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

เพิ่ม \frac{14}{5} ไปยัง -\frac{11}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

ลบ 10x+20y=50 จาก 10x+10y=28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-20y=28-50$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -20y

$$-10y=28-50$$

เพิ่ม 28 ไปยัง -50

$$-10y=-22$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=\frac{11}{5}$$

ทดแทน \frac{11}{5} สำหรับ y ใน 2x+4y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

คูณ 4 ด้วย \frac{11}{5}

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

ลบ \frac{44}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{6}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$