แก้โจทย์ {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+3y=7$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-3y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -3y+7

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{-3y+7}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=1

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-3y+7}{5}

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

เพิ่ม \frac{6y}{5} ไปยัง y

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

เพิ่ม \frac{14}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{19}{11}$$

ทดแทน \frac{19}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

คูณ -\frac{3}{5} ครั้ง \frac{19}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยัง -\frac{57}{55} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

เพื่อทำให้ 5x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

ลบ -10x+5y=5 จาก -10x-6y=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 10x ตัดพจน์ -10x และ 10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-5y=-14-5$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -5y

$$-11y=-14-5$$

เพิ่ม -14 ไปยัง -5

$$-11y=-19$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=\frac{19}{11}$$

ทดแทน \frac{19}{11} สำหรับ y ใน -2x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

ลบ \frac{19}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{4}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$