แก้โจทย์ {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+3y=6$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-3y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -3y+6

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

ทดแทน \frac{-3y+6}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+7y=9

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-3y+6}{5}

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

เพิ่ม -\frac{6y}{5} ไปยัง 7y

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

ลบ \frac{12}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{29}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{33}{29}$$

ทดแทน \frac{33}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

คูณ -\frac{3}{5} ครั้ง \frac{33}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

เพิ่ม \frac{6}{5} ไปยัง -\frac{99}{145} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{15}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

ลบ 10x+35y=45 จาก 10x+6y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-35y=12-45$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -35y

$$-29y=12-45$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -45

$$-29y=-33$$

หารทั้งสองข้างด้วย -29

$$y=\frac{33}{29}$$

ทดแทน \frac{33}{29} สำหรับ y ใน 2x+7y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

คูณ 7 ด้วย \frac{33}{29}

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

ลบ \frac{231}{29} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{30}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{15}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$