แก้โจทย์ {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=6$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+6

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

ทดแทน \frac{-2y+6}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x+2y=22

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

คูณ 9 ด้วย \frac{-2y+6}{5}

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

เพิ่ม -\frac{18y}{5} ไปยัง 2y

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

ลบ \frac{54}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-7$$

ทดแทน -7 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ด้วย -7

$$x=\frac{14+6}{5}$$

เพิ่ม \frac{6}{5} ไปยัง \frac{14}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

ลบ 9x+2y=22 จาก 5x+2y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5x-9x=6-22$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -9x

$$-4x=6-22$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -22

$$-4x=-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน 9x+2y=22 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$9\times 4+2y=22$$

คูณ 9 ด้วย 4

$$36+2y=22$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-7$$