แก้โจทย์ {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=34$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+34$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+34

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

ทดแทน \frac{-2y+34}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x-3y=7

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

คูณ 7 ด้วย \frac{-2y+34}{5}

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

เพิ่ม -\frac{14y}{5} ไปยัง -3y

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

ลบ \frac{238}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ด้วย 7

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

เพิ่ม \frac{34}{5} ไปยัง -\frac{14}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

เพื่อทำให้ 5x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

ลบ 35x-15y=35 จาก 35x+14y=238 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

เพิ่ม 35x ไปยัง -35x ตัดพจน์ 35x และ -35x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$14y+15y=238-35$$

เพิ่ม 14y ไปยัง 15y

$$29y=238-35$$

เพิ่ม 238 ไปยัง -35

$$29y=203$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน 7x-3y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x-3\times 7=7$$

คูณ -3 ด้วย 7

$$7x-21=7$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=7$$