แก้โจทย์ {l}{5a+2b=18}{5a+5b=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 2 b = 18 } \\ { 5 a + 5 b = 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=2$$

$$b=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5a+2b=18$$

ลบ 2b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5a=-2b+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$a=\frac{1}{5}\left(-2b+18\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2b+18

$$a=-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{-2b+18}{5} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 5a+5b=30

$$5\left(-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5}\right)+5b=30$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-2b+18}{5}

$$-2b+18+5b=30$$

เพิ่ม -2b ไปยัง 5b

$$3b+18=30$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3b=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$b=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ b ใน a=-\frac{2}{5}b+\frac{18}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{2}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ด้วย 4

$$a=\frac{-8+18}{5}$$

เพิ่ม \frac{18}{5} ไปยัง -\frac{8}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,b=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 5}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 5}\\-\frac{5}{5\times 5-2\times 5}&\frac{5}{5\times 5-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18-\frac{2}{15}\times 30\\-\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=2,b=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5a+2b=18,5a+5b=30$$

ลบ 5a+5b=30 จาก 5a+2b=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5a-5a+2b-5b=18-30$$

เพิ่ม 5a ไปยัง -5a ตัดพจน์ 5a และ -5a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2b-5b=18-30$$

เพิ่ม 2b ไปยัง -5b

$$-3b=18-30$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -30

$$-3b=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$b=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ b ใน 5a+5b=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$5a+5\times 4=30$$

คูณ 5 ด้วย 4

$$5a+20=30$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5a=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,b=4$$