แก้โจทย์ {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$45+0.25x-y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.25x-y=-45$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$35+0.3x-y=0$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.3x-y=-35$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.25x-y=-45$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.25x=y-45$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=4\left(y-45\right)$$

คูณ 4 ด้วย y-45

$$x=4y-180$$

ทดแทน -180+4y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.3x-y=-35

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

คูณ 0.3 ด้วย -180+4y

$$1.2y-54-y=-35$$

เพิ่ม \frac{6y}{5} ไปยัง -y

$$0.2y-54=-35$$

เพิ่ม 54 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.2y=19$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=95$$

ทดแทน 95 สำหรับ y ใน x=4y-180 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=4\times 95-180$$

คูณ 4 ด้วย 95

$$x=380-180$$

เพิ่ม -180 ไปยัง 380

$$x=200$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=200,y=95$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$45+0.25x-y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.25x-y=-45$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$35+0.3x-y=0$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.3x-y=-35$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=200,y=95$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$45+0.25x-y=0$$

ลบ 45 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.25x-y=-45$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$35+0.3x-y=0$$

ลบ 35 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$0.3x-y=-35$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

ลบ 0.3x-y=-35 จาก 0.25x-y=-45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

เพิ่ม \frac{x}{4} ไปยัง -\frac{3x}{10}

$$-0.05x=-45+35$$

เพิ่ม -45 ไปยัง 35

$$-0.05x=-10$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -20

$$x=200$$

ทดแทน 200 สำหรับ x ใน 0.3x-y=-35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$0.3\times 200-y=-35$$

คูณ 0.3 ด้วย 200

$$60-y=-35$$

ลบ 60 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-95$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=95$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=200,y=95$$