แก้โจทย์ {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$41x+53y=135$$

ลบ 53y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$41x=-53y+135$$

หารทั้งสองข้างด้วย 41

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

คูณ \frac{1}{41} ด้วย -53y+135

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

ทดแทน \frac{-53y+135}{41} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 53x+41y=147

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

คูณ 53 ด้วย \frac{-53y+135}{41}

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

เพิ่ม -\frac{2809y}{41} ไปยัง 41y

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

ลบ \frac{7155}{41} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{1128}{41} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

เพิ่ม \frac{135}{41} ไปยัง -\frac{53}{41} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

เพื่อทำให้ 41x และ 53x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 53 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 41

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

ลบ 2173x+1681y=6027 จาก 2173x+2809y=7155 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

เพิ่ม 2173x ไปยัง -2173x ตัดพจน์ 2173x และ -2173x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2809y-1681y=7155-6027$$

เพิ่ม 2809y ไปยัง -1681y

$$1128y=7155-6027$$

เพิ่ม 7155 ไปยัง -6027

$$1128y=1128$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1128

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 53x+41y=147 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$53x+41=147$$

ลบ 41 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$53x=106$$

หารทั้งสองข้างด้วย 53

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$