แก้โจทย์ {l}{40x+4y=80}{8x-15y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 4 y = 80 } \\ { 8 x - 15 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{299}{158} = 1\frac{141}{158} \approx 1.892405063$$

$$y = \frac{85}{79} = 1\frac{6}{79} \approx 1.075949367$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x+4y=80$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$40x=-4y+80$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$x=\frac{1}{40}\left(-4y+80\right)$$

คูณ \frac{1}{40} ด้วย -4y+80

$$x=-\frac{1}{10}y+2$$

ทดแทน -\frac{y}{10}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x-15y=-1

$$8\left(-\frac{1}{10}y+2\right)-15y=-1$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{y}{10}+2

$$-\frac{4}{5}y+16-15y=-1$$

เพิ่ม -\frac{4y}{5} ไปยัง -15y

$$-\frac{79}{5}y+16=-1$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{79}{5}y=-17$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{79}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{85}{79}$$

ทดแทน \frac{85}{79} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{10}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{85}{79}+2$$

คูณ -\frac{1}{10} ครั้ง \frac{85}{79} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{17}{158}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{17}{158}

$$x=\frac{299}{158}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{40\left(-15\right)-4\times 8}&-\frac{4}{40\left(-15\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{40\left(-15\right)-4\times 8}&\frac{40}{40\left(-15\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}&\frac{1}{158}\\\frac{1}{79}&-\frac{5}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}\times 80+\frac{1}{158}\left(-1\right)\\\frac{1}{79}\times 80-\frac{5}{79}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{158}\\\frac{85}{79}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

เพื่อทำให้ 40x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 40

$$8\times 40x+8\times 4y=8\times 80,40\times 8x+40\left(-15\right)y=40\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$320x+32y=640,320x-600y=-40$$

ลบ 320x-600y=-40 จาก 320x+32y=640 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$320x-320x+32y+600y=640+40$$

เพิ่ม 320x ไปยัง -320x ตัดพจน์ 320x และ -320x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$32y+600y=640+40$$

เพิ่ม 32y ไปยัง 600y

$$632y=640+40$$

เพิ่ม 640 ไปยัง 40

$$632y=680$$

หารทั้งสองข้างด้วย 632

$$y=\frac{85}{79}$$

ทดแทน \frac{85}{79} สำหรับ y ใน 8x-15y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x-15\times \frac{85}{79}=-1$$

คูณ -15 ด้วย \frac{85}{79}

$$8x-\frac{1275}{79}=-1$$

เพิ่ม \frac{1275}{79} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=\frac{1196}{79}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{299}{158}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$