แก้โจทย์ {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x+30y=500$$

ลบ 30y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$40x=-30y+500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

คูณ \frac{1}{40} ด้วย -30y+500

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

ทดแทน -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 60x+15y=600

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

คูณ 60 ด้วย -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}

$$-45y+750+15y=600$$

เพิ่ม -45y ไปยัง 15y

$$-30y+750=600$$

ลบ 750 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-30y=-150$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย 5

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

เพิ่ม \frac{25}{2} ไปยัง -\frac{15}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{35}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

เพื่อทำให้ 40x และ 60x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 60 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 40

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

ลบ 2400x+600y=24000 จาก 2400x+1800y=30000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

เพิ่ม 2400x ไปยัง -2400x ตัดพจน์ 2400x และ -2400x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1800y-600y=30000-24000$$

เพิ่ม 1800y ไปยัง -600y

$$1200y=30000-24000$$

เพิ่ม 30000 ไปยัง -24000

$$1200y=6000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1200

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 60x+15y=600 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$60x+15\times 5=600$$

คูณ 15 ด้วย 5

$$60x+75=600$$

ลบ 75 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$60x=525$$

หารทั้งสองข้างด้วย 60

$$x=\frac{35}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{35}{4},y=5$$