แก้โจทย์ {l}{4.5x-3y=-9}{y=-2x-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 4.5 x - 3 y = - 9 } \\ { y = - 2 x - 21 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{48}{7} = -6\frac{6}{7} \approx -6.857142857$$

$$y = -\frac{51}{7} = -7\frac{2}{7} \approx -7.285714286$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-21$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4.5x-3y=-9,2x+y=-21$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4.5x-3y=-9$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4.5x=3y-9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2}{9}\left(3y-9\right)$$

คูณ \frac{2}{9} ด้วย -9+3y

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

ทดแทน \frac{2y}{3}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=-21

$$2\left(\frac{2}{3}y-2\right)+y=-21$$

คูณ 2 ด้วย \frac{2y}{3}-2

$$\frac{4}{3}y-4+y=-21$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง y

$$\frac{7}{3}y-4=-21$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}y=-17$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{51}{7}$$

ทดแทน -\frac{51}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{51}{7}\right)-2$$

คูณ \frac{2}{3} ครั้ง -\frac{51}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{34}{7}-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -\frac{34}{7}

$$x=-\frac{48}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{48}{7},y=-\frac{51}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-21$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4.5x-3y=-9,2x+y=-21$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4.5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4.5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{4.5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{4.5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{4.5}{4.5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{2}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\left(-9\right)+\frac{2}{7}\left(-21\right)\\-\frac{4}{21}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{48}{7}\\-\frac{51}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{48}{7},y=-\frac{51}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-21$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4.5x-3y=-9,2x+y=-21$$

เพื่อทำให้ \frac{9x}{2} และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4.5

$$2\times 4.5x+2\left(-3\right)y=2\left(-9\right),4.5\times 2x+4.5y=4.5\left(-21\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9x-6y=-18,9x+4.5y=-94.5$$

ลบ 9x+4.5y=-94.5 จาก 9x-6y=-18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x-9x-6y-4.5y=-18+94.5$$

เพิ่ม 9x ไปยัง -9x ตัดพจน์ 9x และ -9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y-4.5y=-18+94.5$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -\frac{9y}{2}

$$-10.5y=-18+94.5$$

เพิ่ม -18 ไปยัง 94.5

$$-10.5y=76.5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -10.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{51}{7}$$

ทดแทน -\frac{51}{7} สำหรับ y ใน 2x+y=-21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\frac{51}{7}=-21$$

เพิ่ม \frac{51}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-\frac{96}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{48}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{48}{7},y=-\frac{51}{7}$$